En este artículo se usa el marco conceptual de Carlson et al. (2003) para discutir los resultados de un estudio de caso, el cual describe la forma como un estudiante razona covariacionalmente al enfrentarse a situaciones de variación asociadas a funciones cuadráticas. El estudio se ideó para desarrollar una línea convergente de indagación (Yin, 2009), la cual se centró en las descripciones que el estudiante realizaba a medida que abordaba las situaciones diseñadas para el estudio; dichas descripciones fueron trianguladas con las producciones escritas y los elementos teóricos. Desde las acciones que el estudiante evidenció, se pudo observar que el proceso de razonamiento covariacional no es un proceso lineal pero sí recursivo. Así mismo, este estudio de caso pone en evidencia el hecho de que existen estudiantes que pueden aproximarse a una interpretación variacional de las concavidades de una gráfica, sin que ello exija un estudio previo del cálculo diferencial. Del estudio se desprenden algunas implicaciones tanto para el marco conceptual abordado en este estudio como para el diseño de situaciones orientadas al aula de clase.
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Razonamiento covariacional en el estudio
de funciones cuadráticas
(Villa-Ochoa, 2012b)
La tarea presentada por Jhony Villa en el documento, en esencia, consiste en reconocer y describir la variación del área de un rectángulo inscrito en un cuadrado a medida que se mueve uno de sus vértices (el punto A ) sobre uno de los lados del cuadrado, como se muestra en la imagen:
TAREA
CONTEXTO
El escenario en el que se presenta la tarea es netamente matemático, que parece ser geométrico debido a que intervienen objetos propios de la Geometría (como rectángulo, cuadrado, etc.) y relaciones entre estos objetos (v.gr., estar inscrito), e implica la necesidad de hacer una construcción. Sin embargo, el problema enunciado no es geométrico, en cuanto no es de Geometría, sino más bien del pensamiento variacional en cuanto pretende identificar el cambio ¿cuánto? y ¿cómo varia? Un asunto fundamental es que la situación no procura ser modelo de nada.
MEDIACIÓN INSTRUMENTAL
Y TIPOS DE REPRESENTACIÓN:
Mediación:
Se resalta el uso del software de geometría dinámica como medio no solo para representar la situación, sino para reconocer la variación presente en la misma. Hay que tener en cuenta que no hay una construcción previa, es decir, que el estudiante no realiza ninguna manipulación al software para generar la situación y al parecer es dada. No obstante, se hace uso de herramientas de Cabrí como:transferencia de medidas, área, tabla, rectas, traza, entre otras, que permiten la exploración.
Representación:
Teniendo en cuenta que la construcción es otorgada al estudiante, las representaciones se manifiestan en dos momentos. El primero es una representación estática de la situación donde se muestra un rectángulo inscrito en un cuadrado. El segundo momento, surge cuando el estudiante interactúa con esta representación y mueve el punto sobre el lado del cuadrado, dándole una connotación cinemática a la representación a partir de la cual se generan dos tipos de representaciones gráfica y tabular. Para la construcción de la gráfica que modelará el comportamiento de la superficie del rectángulo en relación con la longitud del segmento , se ubica en el eje el segmento , que es la medida de y en el eje el segmento que representa el área. La gráfica se
construye con la traza del punto S conforme se mueve el punto del cuadrado. Por otra parte, la tabla se genera utilizando una herramienta que brinda el software y relaciona las mismas variables que la gráfica
NIVELES DE RAZONAMIENTO:
SUGERENCIAS
No se sabe qué tanta ganancia o pérdida, para el pensamiento variacional, implique que el estudiante realice o no la construcción, debido a que esto depende de los objetivos de enseñanza y aprendizaje que tenga docente.
Para ello se proponen tres fases. Primero, reconocimiento y descripción de la variación (qué cambia), establecimiento de relaciones de dependencia entre las cantidades y aproximación a cómo cambia aquello que cambia. Segundo, uso del software Cabrí y sus herramientas para abordar con mayor profundidad las preguntas cómoy cuánto cambia y a partir de esto
conjeturar algunas relaciones entre las magnitudes que cambian. Tercero, construcción de una gráfica que modele el cambio.